Smorzamento relativo al critico nelle analisi delle strutture: cenni e valori consigliati


oscillazioni-smorzate-ofs

In questo articolo parleremo dello smorzamento delle strutture e dei valori che possiamo assumere nei nostri calcoli. Come al solito, si cercherà di essere sintetici e chiari, per quanto possibile.

Iniziamo a dire cos’è lo smorzamento; le strutture possono essere studiate con riferimento a SDoF (Single Degree of Freedom) e MDoF (Multi Degree of Freedom), ovvero sistemi ad uno o più gradi di libertà.

L’oscillatore semplice è un SDoF ed è schematizzabile come un pendolo di massa M e rigidezza K. Una grandezza fondamentale per questo sistema è il periodo T, espresso in secondi, che rappresenta il tempo necessario ad effettuare un’oscillazione completa.

Il periodo è una grandezza intimamente legata alla massa ed alla rigidezza; in particolare, se aumentiamo la massa abbiamo oscillazioni più lente, mentre se aumentiamo la rigidezza le oscillazioni saranno più rapide. Questo significa che il periodo è direttamente proporzionale a M ed inversamente proporzionale a K:

1

Il periodo è quindi indicativo della deformabilità dinamica di una struttura. Tramite infinite combinazioni di massa e rigidezza possiamo rappresentare ogni tipo di oscillatore semplice.

Grazie al periodo, quindi, possiamo entrare negli spettri di risposta e leggere le grandezze che ci interessano per la nostra struttura.

Facciamo un passo indietro adesso, perché le oscillazioni di un SDoF possono essere smorzate o non smorzate. Nel primo caso si hanno oscillazioni armoniche che proseguono nel tempo mantenendo invariato il periodo e gli spostamenti.

oscillazioni-ofs

Ma questo comportamento non riflette la realtà strutturale, nella quale le oscillazioni sono smorzate, quindi vedono spostamenti decrescenti nel tempo. Altro particolare importante: il periodo delle oscillazioni smorzate è maggiore rispetto alle corrispettive non smorzate.

oscillazioni-smorzate-ofs

Lo smorzamento è dovuto alle dissipazioni di energia, le quali dipendono a loro volta da vari aspetti; sinteticamente possiamo dire:

  1. dissipazioni viscose dovute all’attrito (resistenza) del mezzo; sono proporzionali alla velocità;
  2. attriti interni del materiale;
  3. microplasticizzazioni, ovvero plasticizzazioni in alcuni punti del materiale.

Sostanzialmente, dunque, abbiamo tre aliquote di cui quelle viscose sono quelle che incidono di meno. Per semplicità, però, si inglobano le varie aliquote nel primo termine, nonostante sia quello meno forte.

Parliamo allora genericamente di dissipazioni viscose del sistema.

L’equazione differenziale diventa adesso:

2

Dividendo il tutto per la massa:

3

E poniamo:

4

Dove:

5

In definitiva:

6

Che è l’equazione differenziale delle oscillazioni libere smorzate che cercavamo.

La soluzione di questa equazione è:

7

A questo punto possiamo indagare sugli effetti dello smorzamento viscoso sull’oscillatore, cercando di capire come vengono influenzati i parametri di deformabilità dinamica. Il periodo dell’oscillatore semplice smorzato è legato al periodo dell’oscillatore semplice non smorzato dalla relazione:

8

Vediamo cosa accade per smorzamenti nulli:

9

Ovvero con smorzamento nullo ritroviamo lo stesso periodo dell’oscillatore non smorzato, che è esattamente quanto ci aspettavamo.

Vediamo cosa succede per smorzamento unitario:

10

Il periodo diventa infinito, quindi il sistema impiega tempi infiniti per completare un’oscillazione, risulta essere infinitamente frenato. Questo smorzamento prende il nome di critico. I valori dello smorzamento delle strutture sono espressi in percentuali rispetto al critico.

Per edifici in cemento armato il valore che si assume è pari al 5%. Vediamo allora cosa succede con questo valore reale ed un periodo unitario:

11

Praticamente le caratteristiche dinamiche dell’oscillatore non sono cambiate, considerati i trascurabili effetti dello smorzamento.

Ma lo smorzamento è importante per altri aspetti, ovvero perché va ad incidere sul fenomeno della risonanza. Senza addentrarci troppo nell’argomento – che richiede di studiare l’equazione differenziale applicando una forzante armonica – possiamo limitarci a dire che quando la frequenza della forzante eguaglia la frequenza propria del sistema allora si ha una forte amplificazione degli effetti, al punto che con smorzamento nullo si ha amplificazione infinita. Bastano valori minimi di ξ per smorzare di molto il fenomeno. Ecco perché lo smorzamento è fondamentale per le strutture, anche per valori molto bassi come 0.05.

Veniamo adesso alcuni valori dello smorzamento per tipologie strutturali e livello di sforzo. L’immagine che segue è tratta dal testo “Dynamics Of Structures” di Anil K. Chopra, di cui consiglio caldamente l’acquisto:

dampingratios

Ovvero, per livello di sforzo di non più di metà dello snervamento:

  1. acciaio saldato, cemento armato precompresso, cemento armato ben rinforzato con modeste fessurazioni2-3%
  2. cemento armato con notevole fessurazione3-5%
  3. acciaio bullonato o rivettato, strutture lignee con giunti bullonati5-7%

Per livello di sforzo giusto sotto lo snervamento o allo snervamento:

  1. acciaio saldato, cemento armato precompresso (senza perdita completa della presollecitazione)5-7%
  2. cemento armato precompresso con nessuna presollecitazione residua7-10%
  3. cemento armato7-10%
  4. acciaio bullonato o rivettato, strutture lignee con giunti bullonati10-15%

L’Autore afferma che questi valori dello smorzamento relativo al critico possono essere usati direttamente per le analisi linearmente elastiche delle strutture.

Ad ogni modo, si è soliti usare un valore del 5% per edifici in cemento armato e 2% per edifici in acciaio.

Francesco Salvatore Onorio

ofs@hotmail.it

13 Responses to Smorzamento relativo al critico nelle analisi delle strutture: cenni e valori consigliati

  1. gilean scrive:

    ottimo articolo come sempre, complimenti lexatus.

  2. Grazie Gil. La stima di un collega fa molto piacere.

  3. Angioletto_1985 scrive:

    Complimenti per l’articolo, perchè in poche righe si riesce a spiegare quello che nei corsi universatari richiede ore e ore.
    Vorrei chiedere, poi, se come completamento o magari se fosse possibile creare un articolo nuovo, che spieghi passo passo queli sono le operazioni da fare per fare un analisi sismica, magari differenziando tra analisi statica e dinamica. Diciamo un piccolo vademecum da seguire per la proggettazione, sono sicuro che può servire sia a noi studenti che agli addetti ai lavori.
    E infine compliementi per il lavoro svolto su questo sito.

  4. Anzitutto grazie per i complimenti.
    La richiesta potrebbe essere accontentata, non con un tutorial step-by-step, per il quale di materiale ce n’è a iosa, ma con una spiegazione dei concetti posti a base delle analisi sismiche, sia modali che modali semplificate.

    In realtà sarebbero molti gli argomenti di cui si vorrebbe discutere, ma ci si trova a dover lottare con altri impegni inderogabili…

    Vedremo di accontentare la richiesta comunque.
    Saluti.

  5. gilean scrive:

    si e’ un’ottima idea, questo articolo sarebbe proprio utile.

  6. Manfredo Bianchi scrive:

    Molto chiaro ed efficace. Grazie. Una domanda: le NTC consentono di calcolare strutture dissipativei anche con analisi modale calcolandosi lo smorzamento equivalente del sistema con metodi di comprovata validità. Quali possono essere questi metodi? Sono comunque subordinati alla limitazione di masse eccitate pari al 75%col primo modo? Cordiali saluti

  7. Ciao Manfedo,

    la struttura cui fai riferimento che tipo di elementi dissipativi usa? Controventi basati su isteresi, viscosità, visco-elasticità o attrito?

    Dai uno sguardo al testo di Anil K. Chopra “Dynamics Of Structures” che è una miniera di informazioni, oppure le ottime FEMA, in particolare “FEMA 451 – Recommended Provisions – Design Examples” e “FEMA 273 – NEHRP Guidelines For The Seismic Rehabilitation of Buildings“.

    Saluti.

  8. Manfredo Bianchi scrive:

    Ciao Salvatore, grazie.Supponiamo si tratti di controventi dissipativi ad isteresi, tipo BRB ad instabilità impedita. L’ unico metodo di comprovata validità che riesco ad immaginare è una analisi Push-over. Ho letto sull’ ultimo libro del prof. Parducci delle possibili formule tratte appunto dalle norme del FEMA, ma le tabelle del libro sono illeggibili. Comunque mi procurerò il libro che mi hai consigliato e le norme. Ciao.

  9. Buckling Resistant Bracing, ok, allora trovi le informazioni che cerchi su:

    Innovative steel structures for seismic protection of new and existing buildings: design criteria and methodologies

    di Federico Massimo Mazzolani. Edito dalla Polimetrica.

    L’effettivo smorzamento ti è dato da:

    αeff = α + αeq = α + 2(μ-1)/πμ

    dove α è lo smorzamento viscoso classico della struttura, mentre con αeff puoi tener conto dello smorzamento dato dal BRB. μ è la richiesta di duttilità (escursione nel campo plastico).

    Fammi sapere. Ciao.

  10. Manfredo Bianchi scrive:

    Ciao Francesco, in attesa di consultare i testi che mi hai consigliato, ti chiedo un ulteriore chiarimento. Se μ è la duttilità richiesta, presumo quindi il rapporto tra Dmax richiesto dal sisma e Del , significa che lo smorzamento equivalente non è una caratteristica intrinseca del sistema, ma del sistema+terremoto? Capirei meglio che μ fose la duttilità, della strutture Dult/Del, cioè non dipendesse dal sisma. Ciao.

  11. Scusami Manfredo, hai fatto bene a precisare perché ho sbagliato a scrivere: duttilità disponibile non duttilità richiesta.

    A pagina 320 del testo che ti ho consigliato (quello di Mazzolani) trovi la relazione.

  12. laars scrive:

    molto chiaro, grazie

  13. Konstantino scrive:

    Buongiorno a tutti, mi aggancio a questa vecchia discussione perché potreste aiutarmi a chiarire dei dubbi relativi alla azione dinamica del vento sulle strutture.
    Ho sotto mano sia il documento CNR DT207-08 che l’Eurocodice 1, parte 1-4, Azioni del Vento.
    Sto cercando di definire il coefficiente dinamico longitudinale, come si può trovare nell’appendice L del documento del CNR.
    Nel paragrafo “Rapporto di smorzamento relativo al critico” I.6 vengono forniti dei valori tipici e cautelativi di xsi per il primo modo flessionale dell’ordine di 0.005, quindi dello 0.5%, e non del 5%.
    Dato che la cosa mi sembrava strana ho controllato anche sull’Eurocodice, alla appendice F, dove mi dà dei valori di decremento logaritmico dello smorzamento, indicato con delta, che sono esattamente 10 volte superiori, per le stesse voci, ai valori presenti nel documento del CNR.
    Ora il problema è che non riesco a capire se ci sia un errore nel documento del CNR o se questi due parametri siano cose differenti. Se però guardate lo smorzamento aerodinamico (CNR formula I.33) con il decremento logaritmico dello smorzamento aerodinamico (EC1 formula F.16) le due formule sono molto simili, differendo solo per la dimensione caratteristica della struttura, che in una formula compare e nell’altra no (oltre a un fattore 2 pi.greco).
    Vi chiedo: c’è un errore? sto sbagliando io nell’interpretare i dati? xsi e delta sono due cose diverse?
    Grazie mille per le risposte.

Lascia un commento

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger cliccano Mi Piace per questo: