Piastra vincolata ai bordi: calcoli manuali vs. SAP2000


Nell’articolo precedente abbiamo visto quali siano le teorie cui fa riferimento il SAP2000 nel calcolo di una trave su suolo elastico ed abbiamo anche appurato che quegli stessi calcoli possono tranquillamente essere effettuati a mano con una differenza tra i risultati dell’ordine dell’1% (vedi: trave su suolo elastico: calcoli manuali vs. SAP2000).

Adesso passiamo dalla trave alla piastra, facendo riferimento ad una parete di un serbatoio soggetta alla spinta dell’acqua su una delle facce. Tale piastra verrà prima risolta con semplici calcoli manuali, facendo ricorso alle solite teorie di Timoshenko, e successivamente mediante elaboratore elettronico.

Iniziamo ad introdurre il problema: abbiamo una parete in cemento armato di un serbatoio interrato, di forma approssimativamente quadrata; tale parete è soggetta a spinta idrostatica da una parte e spinta del terreno dall’altro.

Discutiamo brevemente la modellazione della parete, la quale può essere soggetta a due tipi di spinte:

  • del terreno, dall’esterno verso l’interno;
  • dell’acqua, dall’interno verso l’esterno.

Ovviamente, queste spinte si contrastano, quindi la condizione più gravosa è la presenza di una sola delle due, in particolare della sola acqua con terreno assente (ovvero proprio quando si effettua il collaudo della parete).

Consideriamo una parete alta 6 metri e lunga 5.5 metri. Come condizioni di vincolo faremo riferimento alla piastra poggiata sui bordi, anche se le fondazioni potrebbero suggerire la presenza di incastri distribuiti lungo il bordo inferiore.

Come detto, la teoria cui fare riferimento è “Theory of Plates and Shells” di S. Timoshenko e S. Woinowsky-Krieger. Il nostro problema viene affrontato nel Capitolo 5, “Simply Supported Rectangular Plates“, nel quale si discute proprio il problema della piastra soggetta a pressione idrostatica:

indice-2

Tralasceremo le basi teoriche, dandole per scontate, ed introdurremo direttamente le grandezze in gioco; anzitutto la rigidezza flessionale della piastra:

rigidezza-flessionale-piastra

L’equazione differenziale reggente il problema è:

equazione-differenziale

Facendo riferimento allo schema riportato di seguito:

piastra

Si hanno le seguenti condizioni al contorno:

condizioni-al-contorno

Di conseguenza l’abbassamento sarà somma di due funzioni:

abbassamento-piastra1

Ovvero:

w1

w31

La cui somma è:

w2

Saltiamo i vari passaggi e riferiamoci direttamente alla soluzione; per una piastra perfettamente quadrata l’abbassamento al centro vale:

soluzione-quadrata1

Ricordiamo, però, che la nostra piastra non è perfettamente quadrata. Indicando con “b” il lato maggiore ed “a” quello minore, abbiamo:

b/a = 6/5.5 = 1.09

Per tener conto del fattore di forma della piastra possiamo ricorrere alle tabelle presenti sul testo di riferimento:

tabella-piastra

Per calcolare l’abbassamento al centro (x = 0.5a) con il rapporto di forma pari a circa 1.1, sostituiamo 0.00243 a 0.00203 nella formula precedente:

abbassamento-piastra-numerico1

Come al solito, non si faccia caso ai valori utilizzati, avendo preso a riferimento un progetto già svolto.

A questo punto vogliamo valutare lo stesso abbassamento mediante l’ausilio dell’elaboratore elettronico, ovvero il solito SAP2000. Modelliamo la parete scegliendo opportunamente i parametri ed ecco il modello 3D:

parete-sap

Ed ecco la stessa parete nella configurazione deformata:

parete-deformata

Avendo fatto uno screen col cursore nel punto in cui si ha il massimo abbassamento, leggiamo il valore: 0.5778; la differenza tra i risultati ottenuti è poco superiore al 4%, un valore molto basso che conferma l’equivalenza delle due procedure svolte. Da notare, tra l’altro, che se anziché riferirci al valore 0.00243, corrispondente al fattore di forma 1.1, troviamo tramite interpolazione il valore corrispondente al fattore di forma 1.09, ovvero 0.00239, l’abbassamento scende a 0.5942 (differenza del 2.8%) avvicinandoci ancora di più al valore del SAP2000; praticamente i risultati sono uguali.

Passiamo al calcolo del massimo momento flettente:

momento-timoshenko

Dove beta è il solito coefficiente che dipende dal fattore di forma della piastra; tale valore lo ricaviamo da un’altra tabella presente sul testo di Timoshenko:

tabella-timoshenko

Si ricava dunque:

momento-massimo

Il SAP2000 restituisce:

momento-piastra-2

Facendo uno zoom sulla porzione per leggere meglio:

momento-piastra-2-zoom

La differenza è pari al 6.6%.

Sia per l’abbassamento che per il momento flettente massimo abbiamo verificato che non c’è praticamente differenza tra i calcoli manuali e quelli svolti dall’elaboratore elettronico. Il SAP2000 è di grande ausilio in termini di tempo, ma i calcoli svolti possono essere tranquillamente ripetuti con una matita, un foglio di carta ed un bel testo di Scienza delle Costruzioni.

Francesco Salvatore Onorio

ofs@hotmail.it

7 Responses to Piastra vincolata ai bordi: calcoli manuali vs. SAP2000

  1. Pingback: Piastra appoggiata lungo i bordi e soggetta a carico uniforme: programmino in VBA per la risoluzione « L’angolo dell’ingegnere strutturista

  2. leandrocandido scrive:

    ragazzi, siete fenomenali!!
    mi ero esattamente posto il problema se per una piastra semplice fosse stato più conveniente adottare le formule del Timoshenko piuttosto che un’analisi con SAP2000.

    Grazie.
    Vi seguirò!

  3. Simone scrive:

    Ciao, scusate ma nello schema q0 a cosa corrisponde?

    Grazie

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  5. Pietro scrive:

    Perdonami ma forse c’è un’incongruenza con lo schema del libro e il tuo disegno: sembra che il tuo rapporto b/a debba essere minore di 1 quindi non tabulato; in pratica il carico q cresce secondo x e non secondo y come si evince dal tuo disegno. Spero che mi smentiscimi perchè ho proprio bisogno di questi calcoli

  6. Francesco scrive:

    Pietro, il carico deve crescere secondo X. Lo schema, che deriva dallo stesso libro, è ruotato.

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